Desarrollo y Sistemas de ecuaciones

               
                                        Resolución De Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía es más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.

4x - 7 + 7 = 1 + 7 (por eso se dice que un numero que está restando "pasa" sumando).

4x = 1 + 7 

4x = 8

4x : 4 = 8 : 4 (por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)

Tiene una única solución: x = 2.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.

La forma canónica: f(x) = a (x - vx)2 + vy [donde (-vx ; vy) es la coordenada del vértice de la parábola]

La expresión polinómica f(x) = ax2 + bx + c representan diferentes formas de expresar la misma función. Veamos como se pasa de una a otra.

• Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0

ax2 + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso,

ax2 + bx = 0 ! (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por ejemplo:

3x2 + 5x = 0 ! (3x + 5)x = 0

Las soluciones son: x = 0; x = - 5/3.

En el segundo caso,

ax2 + c = 0 ! ax2 = - c ! x2 = - c/a

• Resolución de ecuaciones bicuadradas:

Se llama bicuadrada a una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar: 

ax4 + bx2 + c = 0 (1)

Si se realiza el cambio de variable x2 = z, con lo cual x4 = z2, entonces se transforma en una ecuación de segundo grado:

az2 + bz + c = 0 (2)

             

Ecuaciones Polinómicas enteras

                        Tipos De Ecuaciones

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.
Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

1. Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. 3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

• Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales.                     5x + 7 = 3 es lineal. (x - 5)2 + 3 = x2 - 1, también lo es porque al desarrollar y simplificar se obtiene -10x + 29 = 0.

• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas.                   Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0,  (x - 2)2 + 7x =5 + x.

2. Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical.

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios

3. En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x + 4x + 1 - 18 = 0

 4. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo: sen (ð/4+ x) - cos x = 1

                                                                                                                                  

Definición de ecuaciones

Ecuaciones 

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones.

          Por ejemplo:

• 5x - 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2
• x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
• 2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = ð15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x - 7 = x + 1 es equivalente a 2x - 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.